如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，...

问题详情：

如图，△ABC中，∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，若动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm，设出发的时间为t秒．

（1）出发2秒后，求△ABP的面积．

（2）问t为何值时，△BCP为等腰三角形？[来源:学科网ZXXK]

（3）另有一点Q，从点C开始，按C→B→A→C的路径运动，且速度为每秒2cm，若P、Q两点同时出发，当P、Q中有一点到达终点时，另一点也停止运动．当t为何值时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分？

【回答】

（1）∵∠C=90°，AB=10cm，BC=6cm，∴由勾股定理得AC=8cm，动点P从点C开始，按C→A→B→C的路径运动，且速度为每秒1cm

∴出发2秒后，则CP=2cm，那么AP=6cm．

∴

（2）若P在边AC上时，BC=CP=6cm，

此时用的时间为6s，△BCP为等腰三角形；

若P在AB边上时，有三种情况：

①若使BP=CB=6cm，此时AP=4cm，P运动的路程为12cm，

所以用的时间为12s，故t=12s时△BCP为等腰三角形；

②若CP=BC=6cm，过C作斜边AB的高，根据面积法求得高为4.8cm，

根据勾股定理求得BP=7.2cm，所以P运动的路程为18-7.2=10.8cm，

∴t的时间为10.8s，△BCP为等腰三角形；

③若BP=CP时，则∠PCB=∠PBC，

∵∠ACP+∠BCP=90°，∠PBC+∠CAP=90°，

∴∠ACP=∠CAP，

∴PA=PC

∴PA=PB=5cm

∴P的路程为13cm，所以时间为13s时，△BCP为等腰三角形．

∴t=6s或13s或12s或 10.8s 时△BCP为等腰三角形；

（3）当P点在AC上，Q在AB上，则AP=8-t，AQ=16-2t，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴8-t+16-2t=12，

∴t=4；

当P点在AB上，Q在AC上，则AP=t-8，AQ=2t-16，

∵直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分，

∴t-8+2t-16=12，

∴t=12，

∴当t为4或12秒时，直线PQ把△ABC的周长分成相等的两部分．

知识点：勾股定理

题型：综合题