已知命题A:函数f(x)=x2-4mx+4m2+2在区间[-1,3]上的最小值为2;命题B:若g(x)=且g(...

问题详情：

已知命题A:函数f(x)=x2-4mx+4m2+2在区间[-1,3]上的最小值为2;

命题B:若g(x)=且g(x)>1对任意x∈R恒成立;

命题C:{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2-4≥0}.

(1)若A,B,C中至少有一个为真命题,试求实数m的取值范围.

(2)若A,B,C中恰有一个为假命题,试求实数m的取值范围.

【回答】

(1)因为f(x)=x2-4mx+4m2+2=(x-2m)2+2,

所以只有x=2m时,f(x)的最小值为2.

又因为f(x)在区间[-1,3]上的最小值为2,

所以-1≤2m≤3,所以-≤m≤,

所以命题A为真的条件是-≤m≤.

因为g(x)=

当x≥m时,g(x)=2x-m在[m,+∞)上单调递增,g(x)min=g(m)=m;

当x<m时,g(x)=m=g(x)min,

所以x∈R时,g(x)的最小值为m,

所以命题B为真的条件是m>1.

因为{x|m≤x≤2m+1}⊆{x|x2-4≥0},

所以m>2m+1或或

所以m<-1或m≥2或m∈∅,

所以命题C为真的条件是m<-1或m≥2.

因为命题A,B,C都为假的条件是

-1≤m<-,

所以命题A,B,C中至少有一个为真命题的条件是m<-1或m≥-.

(2)当A假,B,C为真时,m≥2;

当A真,B假,C为真时,m∈∅;

当A真,B真,C为假时,

1<m≤,

所以A,B,C中恰有一个为假命题的条件是m≥2或1<m≤.

知识点：常用逻辑用语

题型：解答题