已知二次函数和函数.（1）若为偶函数，试判断的奇偶*；（2）若方程有两个不相等的实根则：①试判断函数在区间上是...

问题详情：

已知二次函数和函数.

（1）若为偶函数，试判断的奇偶*；

（2）若方程有两个不相等的实根则：

①试判断函数在区间上是否具有单调*，并说明理由；

②若方程的两实根为，求使成立的的取值范围.

【回答】

（1）为奇函数；（2）①是，理由见解析；②.

【分析】

(1)由是奇函数且为二次函数可知：，，故可得，再利用定义即可判断的奇偶*；

(2)①由可整理得到一元二次方程，由题意得，整理得出对称轴方程不在上，故可得出函数在区间上具有单调*；

②由的两实根为，且成立，可由根的分布将其转化为不等式，即可解出的范围.

【详解】

解：（1）因为为偶函数，，

，又二次函数的，定义域为，

，所以为奇函数；

（2）①由得方程有不等实根，

 及得，即或，

即二次函数的对称轴，

故在是单调函数；

②是方程的根，，

，同理；

，

要使，只需即，，

或即，无实数解，

故的取值范围为.

【点睛】

方法点睛：二次函数、二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题