如图,M为等腰△ABD的底AB的中点,过D作DC∥AB,连结BC;AB=8cm,DM=4cm,DC=1cm,动...
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如图,M为等腰△ABD的底AB的中点,过D作DC∥AB,连结BC;AB=8cm,DM=4cm,DC=1cm,动点P自A点出发,在AB上匀速运动,动点Q自点B出发,在折线BC﹣CD上匀速运动,速度均为1cm/s,当其中一个动点到达终点时,它们同时停止运动,设点P运动t(s)时,△MPQ的面积为S(不能构成△MPQ的动点除外).
(1)t(s)为何值时,点Q在BC上运动,t(s)为何值时,点Q在CD上运动;
(2)求S与t之间的函数关系式;
(3)当t为何值时,S有最大值,最大值是多少?
(4)当点Q在CD上运动时,直接写出t为何值时,△MPQ是等腰三角形.
【回答】
【解答】解:(1)过点C作CE⊥AB,垂足为E,如图1,
∵DA=DB,AM=BM,
∴DM⊥AB.
∵CE⊥AB,
∴∠CEB=∠DMB=90°.
∴CE∥DM.
∵DC∥ME,CE∥DM,∠DME=90°,
∴四边形DCEM是矩形.
∴CE=DM=4,ME=DC=1.
∵AM=BM,AB=8,
∴AM=BM=4.
∴BE=BM﹣ME=3.
∵∠CEB=90°,CE=4,BE=3,
∴CB=5.
∵当t=4时,点P与点M重合,不能构成△MPQ,
∴t≠4.
∴当0<t≤5且t≠4(s)时,点Q在BC上运动;当5≤t≤6(s)时,点Q在CD上运动.
(2)①当0<t<4时,点P在线段AM上,点Q在线段BC上,
过点Q作QF⊥AB,垂足为F,如图1,
∵QF⊥AB,CE⊥AB,
∴∠QFB=∠CEB=90°.
∴QF∥CE.
∴△QFB∽△CEB.
∴=.
∵CE=4,BC=5,BQ=t,
∴=.
∴QF=.
∵PM=AM﹣AP=4﹣t,
∴S=PM•QF
=(4﹣t)•
=﹣t2+.
②当4<t≤5时,点P在线段BM上,点Q在线段BC上,
过点Q作QF⊥AB,垂足为F,如图2,
∵QF⊥AB,CE⊥AB,
∴∠QFB=∠CEB=90°.
∴QF∥CE.
∴△QFB∽△CEB.
∴=.
∵CE=4,BC=5,BQ=t,
∴=.
∴QF=.
∵PM=AP﹣AM=t﹣4,
∴S=PM•QF
=(t﹣4)•
=t2﹣.
③当5<t≤6时,点P在线段BM上,点Q在线段DC上,
过点Q作QF⊥AB,垂足为F,如图3,
此时QF=DM=4.
∵PM=AP﹣AM=t﹣4,
∴S=PM•QF
=(t﹣4)×4
=2t﹣8.
综上所述:当0<t<4时S=﹣t2+;当4<t≤5时,S=t2﹣;当5<t≤6时,S=2t﹣8.
(3)①当0<t<4时,S=﹣t2+=﹣(t﹣2)2+.
∵﹣<0,0<2<4,
∴当t=2时,S取到最大值,最大值为.
②当4<t≤5时,S=t2﹣,对称轴为x=2.
∵>0,
∴当x>2时,S随着t的增大而增大.
∴当t=5时,S取到最大值,最大值为×52﹣×5=2.
③当5<t≤6时,S=2t﹣8.
∵2>0,
∴S随着t的增大而增大.
∴当t=6时,S取到最大值,最大值为2×6﹣8=4.
综上所述:当t=6时,S取到最大值,最大值为4.
(4)当点Q在CD上运动即5≤t≤6时,如图3,
则有QM≥QF,QP≥QF,即QM≥4,QP≥4.
∵MP=t﹣4<6﹣4,即MP<2,
∴QM≠MP,QP≠MP.
若△MPQ是等腰三角形,则QM=QP.
∵QM=QP,QF⊥MP,
∴MF=PF=MP.
∵MF=DQ=5+1﹣t=6﹣t,MP=t﹣4,
∴6﹣t=(t﹣4).
解得:t=.
∴当t=秒时,△MPQ是等腰三角形.
知识点:相似三角形
题型:综合题
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