已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且点P(,2)是该函数图象...
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已知函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<)的最小正周期为π,且点P(,2)是该函数图象的一个最高点.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)若x∈[﹣,0],求函数y=f(x)的值域;
(3)把函数y=f(x)的图象向右平移θ(0<θ<)个单位长度,得到函数y=g(x)在[0,]上是单调增函数,求θ的取值范围.
【回答】
解:(1)∵由题意可得,A=2, =π,
∴ω=2.........................................................2分
∵再根据函数的图象经过点M(,2),可得2sin(2×+φ)=2,结合|φ|<,可得=,
∴f(x)=2sin(2x+).
(2)∵x∈[﹣,0],
∴2x+∈[﹣,]
∴sin(2x+)∈[﹣1,],可得:f(x)=2sin(2x+)∈[﹣2,1]
(3)把函数y=f(x)的图线向右平移θ(0<θ<)个单位,
得到函数y=g(x)=2sin[2(x﹣θ)+]=2sin(2x﹣2θ+),
∴令2kπ﹣≤2x﹣2θ+≤2kπ+,k∈Z,解得:kπ+θ﹣≤x≤kπ+θ+,k∈Z,
可得函数的单调递增区间为:[kπ+θ﹣,kπ+θ+],k∈Z,
∵函数y=g(x)在[0,]上是单调增函数,
∴,
∴解得:,k∈Z,
∵0<θ<,
∴当k=0时,θ∈[,].
知识点:三角函数
题型:解答题
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