将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.(1)如图,当点E在BD上时.求*:...
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将矩形ABCD绕点A顺时针旋转α(0°<α<360°),得到矩形AEFG.
(1)如图,当点E在BD上时.求*:FD=CD;
(2)当α为何值时,GC=GB?画出图形,并说明理由.
【回答】
(1)见解析;(2)见解析.
【解析】
【分析】
(1)先运用SAS判定△AED≌△FDE,可得DF=AE,再根据AE=AB=CD,即可得出CD=DF;
(2)当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,分两种情况讨论,依据∠DAG=60°,即可得到旋转角α的度数.
【详解】
(1)由旋转可得,AE=AB,∠AEF=∠ABC=∠DAB=90°,EF=BC=AD,
∴∠AEB=∠ABE,
又∵∠ABE+∠EDA=90°=∠AEB+∠DEF,
∴∠EDA=∠DEF,
又∵DE=ED,
∴△AED≌△FDE(SAS),
∴DF=AE,
又∵AE=AB=CD,
∴CD=DF;
(2)如图,当GB=GC时,点G在BC的垂直平分线上,
分两种情况讨论:
①当点G在AD右侧时,取BC的中点H,连接GH交AD于M,
∵GC=GB,
∴GH⊥BC,
∴四边形ABHM是矩形,
∴AM=BH=AD=AG,
∴GM垂直平分AD,
∴GD=GA=DA,
∴△ADG是等边三角形,
∴∠DAG=60°,
∴旋转角α=60°;
②当点G在AD左侧时,同理可得△ADG是等边三角形,
∴∠DAG=60°,
∴旋转角α=360°﹣60°=300°.
【点睛】
本题考查旋转的*质、全等三角形的判定(SAS)与*质的运用,解题关键是掌握旋转的*质、全等三角形的判定(SAS)与*质的运用.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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