有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD...

问题详情：

有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），连接BD，MF，若BD＝16cm，∠ADB＝30°．

  （1）试探究线段BD 与线段MF的数量关系和位置关系，并说明理由；

  （2）把△BCD 与△MEF 剪去，将△ABD绕点A顺时针旋转得△AB1D1，边AD1交FM 于点K（如图2），设旋转角为β（0°＜β＜90°），当△AFK 为等腰三角形时，求β的度数；

  （3）若将△AFM沿AB方向平移得到△A2F2M2（如图3），F2M2与AD交于点P，A2M2与BD交于点N，当NP∥AB时，求平移的距离．

【回答】

【分析】（1）有两张完全重合的矩形纸片，将其中一张绕点A顺时针旋转90°后得到矩形AMEF（如图1），得BD＝MF，△BAD≌△MAF，推出BD＝MF，∠ADB＝∠AFM＝30°，进而可得∠DNM的大小．

（2）分两种情形讨论①当AK＝FK时，②当AF＝FK时，根据旋转的*质得出结论．

（3）求平移的距离是A2A的长度．在矩形PNA2A中，A2A＝PN，只要求出PN的长度就行．用△DPN∽△DAB得出对应线段成比例，即可得到A2A的大小．

【解答】解：（1）结论：BD＝MF，BD⊥MF．理由：

如图1，延长FM交BD于点N，

由题意得：△BAD≌△MAF．

∴BD＝MF，∠ADB＝∠AFM．

又∵∠DMN＝∠AMF，

∴∠ADB+∠DMN＝∠AFM+∠AMF＝90°，

∴∠DNM＝90°，

∴BD⊥MF．

（2）如图2，

①当AK＝FK时，∠KAF＝∠F＝30°，

则∠BAB1＝180°﹣∠B1AD1﹣∠KAF＝180°﹣90°﹣30°＝60°，

即β＝60°；

②当AF＝FK时，∠FAK＝（180°﹣∠F）＝75°，

∴∠BAB1＝90°﹣∠FAK＝15°，

即β＝15°；

综上所述，β的度数为60°或15°；

（3）如图3，

由题意得矩形PNA2A．设A2A＝x，则PN＝x，

在Rt△A2M2F2中，∵F2M2＝FM＝16，∠F＝∠ADB＝30°，

∴A2M2＝8，A2F2＝8，

∴AF2＝8﹣x．

∵∠PAF2＝90°，∠PF2A＝30°，

∴AP＝AF2•tan30°＝8﹣x，

∴PD＝AD﹣AP＝8﹣8+x．

∵NP∥AB，

∴∠DNP＝∠B．

∵∠D＝∠D，

∴△DPN∽△DAB，

∴＝，

∴＝，

解得x＝12﹣4，即A2A＝12﹣4，

∴平移的距离是（12﹣4）cm．

【点评】本题属于四边形综合题，主要考查了旋转的*质，相似三角形的判定与*质，勾股定理的运用，等腰三角形的*质的运用运用．在利用相似三角形的*质时注意使用相等线段的代换以及注意分类思想的运用．

知识点：解直角三角形与其应用

题型：综合题