如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折...

问题详情：

如图，先有一张矩形纸片ABCD，AB＝4，BC＝8，点M，N分别在矩形的边AD，BC上，将矩形纸片沿直线MN折叠，使点C落在矩形的边AD上，记为点P，点D落在G处，连接PC，交MN于点Q，连接CM．下列结论：

①CQ＝CD；

②四边形CMPN是菱形；

③P，A重合时，MN＝2；

④△PQM的面积S的取值范围是3≤S≤5．

其中正确的是　   　（把正确结论的序号都填上）．

【回答】

②③　

【分析】先判断出四边形CFHE是平行四边形，再根据翻折的*质可得CN＝NP，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形*，判断出②正确；假设CQ＝CD，得Rt△CMQ≌△CMD，进而得∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，判断①错误；点P与点A重合时，设BN＝x，表示出AN＝NC＝8﹣x，利用勾股定理列出方程求解得x的值，进而用勾股定理求得MN，判断出③正确；当MN过D点时，求得四边形CMPN的最小面积，进而得S的最小值，当P与A重合时，S的值最大，求得最大值便可．

【解答】解：如图1，

∵PM∥CN，

∴∠PMN＝∠MNC，

∵∠MNC＝∠PNM，

∴∠PMN＝∠PNM，

∴PM＝PN，

∵NC＝NP，

∴PM＝CN，

∵MP∥CN，

∴四边形CNPM是平行四边形，

∵CN＝NP，

∴四边形CNPM是菱形，故②正确；

∴CP⊥MN，∠BCP＝∠MCP，

∴∠MQC＝∠D＝90°，

∵CP＝CP，

若CQ＝CD，则Rt△CMQ≌△CMD，

∴∠DCM＝∠QCM＝∠BCP＝30°，这个不一定成立，

故①错误；

点P与点A重合时，如图2，

设BN＝x，则AN＝NC＝8﹣x，

在Rt△ABN中，AB2+BN2＝AN2，

即42+x2＝（8﹣x）2，

解得x＝3，

∴CN＝8﹣3＝5，AC＝，

∴，

∴，

∴MN＝2QN＝2．

故③正确；

当MN过点D时，如图3，

此时，CN最短，四边形CMPN的面积最小，则S最小为S＝，

当P点与A点重合时，CN最长，四边形CMPN的面积最大，则S最大为S＝，

∴4≤S≤5，

故④错误．

故*为：②③．

【点评】此题是四边形综合题，主要考查了折叠问题与菱形的判定与*质、勾股定理的综合应用，熟练掌握菱形的判定定理和*质定理、勾股定理是解本题的关键．

知识点：各地中考

题型：填空题