矩形ABCD一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．(1)如图①，已知折痕与边BC交...

问题详情：

矩形ABCD一条边AD＝8，将矩形ABCD折叠，使得点B落在CD边上的点P处．

(1)如图①，已知折痕与边BC交于点O，连接AP，OP，OA.

① 求*：△OCP∽△PDA；

② 若△OCP与△PDA的面积比为14，求边AB的长．

(2)如图②，在(1)的条件下，擦去AO和OP，连接BP.动点M在线段AP上(不与点P，A重合)，动点N在线段AB的延长线上，且BN＝PM，连接MN交PB于点F，作ME⊥BP于点E.试问动点M，N在移动的过程中，线段EF的长度是否发生变化？若不变，求出线段EF的长度；若变化，说明理由．

【回答】

(1)①*：如图①，∵四边形ABCD是矩形，

∴∠C＝∠D＝∠B＝90°，∴∠1＋∠3＝90°.

由折叠可得∠APO＝∠B＝90°，

∴∠1＋∠2＝90°.∴∠3＝∠2.

又∵∠C＝∠D，∴△OCP∽△PDA.

②解：∵△OCP与△PDA的面积比为14，且△OCP∽△PDA，

∴＝＝.∴CP＝AD＝4.

设OP＝x，则易得CO＝8－x.

在Rt△PCO中，∠C＝90°，

由勾股定理得 x2＝(8－x)2＋42.

解得x＝5.

∴AB＝AP＝2OP＝10.

(第25题)

 (2)解：作MQ∥AN，交PB于点Q，如图②.

∵AP＝AB，MQ∥AN，∴∠APB＝∠ABP＝∠MQP.

∴MP＝MQ.又BN＝PM，∴BN＝QM.

∵MQ∥AN，∴∠QMF＝∠BNF，∠MQF＝∠FBN，

∴△MFQ≌△NFB.∴QF＝FB.

∴QF＝QB. [来源:学&科&网Z&X&X&K]

∵MP＝MQ，ME⊥PQ，∴EQ＝PQ.

∴EF＝EQ＋QF＝PQ＋QB＝PB.

由(1)中的结论可得PC＝4，BC＝8，∠C＝90°.

∴PB＝＝4，∴EF＝PB＝2.

∴在(1)的条件下，点M，N在移动的过程中，线段EF的长度不变，它的长度恒为2.

知识点：特殊的平行四边形

题型：解答题