如图，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在点D处，AD交OC于...

问题详情：

 如图，四边形OABC是矩形，OA＝4，OC＝8，将矩形OABC沿直线AC折叠，使点B落在点D处，AD交OC于点E.

(1)求OE的长；

(2)求过O，D，C三点的抛物线的解析式；

(3)若F为过O，D，C三点的抛物线的顶点，一动点P从点A出发，沿*线AB以每秒1个单位长度的速度匀速运动，当运动时间T(秒)为何值时，直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分．

【回答】

解：(1)∵四边形OABC是矩形，

∴∠CDE＝∠AOE＝90°，OA＝BC＝CD.

又∵∠CED＝∠OEA，

∴△CDE≌△AOE，

∴OE＝DE，

∴OE2＋OA2＝(AD－DE)2，

即OE2＋42＝(8－OE)2，

解得OE＝3；

(2)∵EC＝8－3＝5，如解图，过D作DG⊥EC于G，

易得△DGE∽△CDE，

∴＝，，

∴DG＝，EG＝，

∴OG＝3＋＝.

∴D(，)，

∵O点为坐标原点，

故可设过O，C，D三点的抛物线的解析式为y＝Ax2＋Bx，将C(8，0)与D(，)代入y＝ax2＋bx，得，

，解得，

∴所求抛物线的解析式为y＝－x2＋x；

第13题解图

(3)∵y＝－x2＋x＝－(x－4)2＋，

∴F(4，)．

设直线AC的解析式为y＝Kx＋B(K≠0)，将A(0，－4)与C(8，0)代入y＝Kx＋B，得

，解得

∴直线AC的解析式为y＝x－4.

如解图，设直线FP交直线AC于H(M，M－4)，过H作HM⊥OA于点M，

∴△AMH∽△AOC，

∴MH∶OC＝AH∶AC.

∵S△FAH∶S△FHC＝1∶3或3∶1，

∴AH∶HC＝1∶3或3∶1，

∴MH∶OC＝AH∶AC＝1∶4或3∶4，

∴HM＝2或6，

即M＝2或6，

∴H1(2，－3)，H2(6，－1)，

∴直线FH1的解析式为y＝x－，

令y＝－4，x＝；

直线FH2的解析式为y＝－x＋，

令y＝－4，x＝，

∴当T＝或时，直线PF把△FAC分成面积之比为1∶3的两部分．

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题