如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重...

问题详情：

如图，AC是矩形ABCD的对角线，⊙O是△ABC的内切圆，现将矩形ABCD按如图所示的方式折叠，使点D与点O重合，折痕为FG，点F，G分别在AD，BC上，连结OG，DG，若OG⊥DG，且⊙O的半径长为1，则BC+AB的值　　．

【回答】

2+4　．

【考点】三角形的内切圆与内心；矩形的*质；翻折变换（折叠问题）．

【分析】设圆0与BC的切点为M，连接OM，由切线的*质可知OM⊥BC，然后*△OMG≌△GCD，得到OM=GC=1，CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．设AB=a，BC=a+2，AC=2a，从而可求得∠ACB=30°，从而得到，故此可求得AB=，则BC=+3．

【解答】解：如图所示：设圆0与BC的切点为M，连接OM．

∵BC是圆O的切线，M为切点，

∴OM⊥BC．

∴∠OMG=∠GCD=90°．

由翻折的*质可知：OG=DG．

∵OG⊥GD，

∴∠OGM+∠DGC=90°．

又∵∠MOG+∠OGM=90°，

∴∠MOG=∠DGC．

在△OMG和△GCD中，，

∴△OMG≌△GCD．

∴OM=GC=1．

CD=GM=BC﹣BM﹣GC=BC﹣2．

∵AB=CD，

∴BC﹣AB=2．

设AB=a，则BC=a+2．

∵圆O是△ABC的内切圆，

∴AC=AB+BC﹣2r．

∴AC=2a．

∴．

∴∠ACB=30°．

∴，即．

解得：a=．

∴AB=，BC=AB+2=．

所有AB+BC=4．

故*为：4．

【点评】本题主要考查的是切线的*质、翻折的*质、全等三角形的*质和判定、特殊锐角三角函数值，求得∠ACB=30°是解题得关键．

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：填空题