已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处(Ⅰ)如图1,已知折痕与边...
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已知矩形ABCD的一条边AD=8,将矩形ABCD折叠,使得顶点B落在CD边上的P点处
(Ⅰ)如图1,已知折痕与边BC交于点O,连接AP、OP、OA.若△OCP与△PDA的面积比为1:4,求边CD的长.
(Ⅱ)如图2,在(Ⅰ)的条件下,擦去折痕AO、线段OP,连接BP.动点M在线段AP上(点M与点P、A不重合),动点N在线段AB的延长线上,且BN=PM,连接MN交PB于点F,作ME⊥BP于点E.试问当动点M、N在移动的过程中,线段EF的长度是否发生变化?若变化,说明变化规律.若不变,求出线段EF的长度.
【回答】
解:(1)如图1,∵四边形ABCD是矩形,
∴∠C=∠D=90°,
∴∠1+∠3=90°,
∵由折叠可得∠APO=∠B=90°,
∴∠1+∠2=90°,
∴∠2=∠3,
又∵∠D=∠C,
∴△OCP∽△PDA;
∵△OCP与△PDA的面积比为1:4,
∴,
∴CP=AD=4,
设OP=x,则CO=8﹣x,
在Rt△PCO中,∠C=90°,
由勾股定理得 x2=(8﹣x)2+42,
解得:x=5,
∴AB=AP=2OP=10,
∴边CD的长为10;
(2)作MQ∥AN,交PB于点Q,如图2,
∵AP=AB,MQ∥AN,
∴∠APB=∠ABP=∠MQP.
∴MP=MQ,
∵BN=PM,
∴BN=QM.
∵MP=MQ,ME⊥PQ,
∴EQ=PQ.
∵MQ∥AN,
∴∠QMF=∠BNF,
在△MFQ和△NFB中,
,
∴△MFQ≌△NFB(AAS).
∴QF=QB,
∴EF=EQ+QF=PQ+QB=PB,
由(1)中的结论可得:PC=4,BC=8,∠C=90°,
∴PB=,
∴EF=PB=2,
∴在(1)的条件下,当点M、N在移动过程中,线段EF的长度不变,它的长度为2.
知识点:特殊的平行四边形
题型:综合题
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