猜想与*:如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD上.连结A...
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猜想与*:如图①摆放矩形纸片ABCD与矩形纸片ECGF,使B,C,G三点在一条直线上,CE在边CD上.连结AF,若M为AF的中点,连结DM,ME,试猜想DM与ME的数量关系,并*你的结论.
拓展与延伸:
(1)若将“猜想与*”中的纸片换成正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,其他条件不变,则DM和ME的关系为__________________;
(2)如图②摆放正方形纸片ABCD与正方形纸片ECGF,使点F在边CD上,点M仍为AF的中点,试*(1)中的结论仍然成立.(提示:直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半)
① ②
【回答】
猜想与*:猜想DM与ME的数量关系是:DM=ME,*见解析;拓展与延伸:(1)DM=ME,DM⊥ME;(2)*见解析
【分析】
猜想:延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半*.
(1)延长EM交AD于点H,利用△FME≌△AMH,得出HM=EM,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半*,
(2)连接AC,AC和EC在同一条直线上,再利用直角三角形中,斜边的中线等于斜边的一半*,
【详解】
解:猜想与*:
猜想DM与ME的数量关系是:DM=ME.
*:如图①,延长EM交AD于点H.
①
∵四边形ABCD、四边形ECGF都是矩形,
∴AD∥BG,EF∥BG,∠HDE=90°.
∴AD∥EF.
∴∠AHM=∠FEM.
又∵AM=FM,∠AMH=∠FME,
∴△AMH≌△FME.
∴HM=EM.
又∵∠HDE=90°,
∴DM=EH=ME;
(1)∵四边形ABCD和CEFG是正方形, ∴AD∥EF, ∴∠EFM=∠HAM, 又∵∠FME=∠AMH,FM=AM, 在△FME和△AMH中, ,
∴△FME≌△AMH(ASA) ∴HM=EM, 在RT△HDE中,HM=EM, ∴DM=HM=ME, ∴DM=ME. ∵四边形ABCD和CEFG是正方形, ∴AD=CD,CE=EF, ∵△FME≌△AMH, ∴EF=AH, ∴DH=DE, ∴△DEH是等腰直角三角形, 又∵MH=ME,
故*为:DM=ME,DM⊥ME;
(2)*:如图②,连结AC.
②
∵四边形ABCD、四边形ECGF都是正方形,
∴∠DCA=∠DCE=∠CFE=45°,
∴点E在AC上.
∴∠AEF=∠FEC=90°.
又∵点M是AF的中点,
∴ME=AF.
∵∠ADC=90°,点M是AF的中点,
∴DM=AF.
∴DM=ME.
∵ME=AF=FM,DM=AF=FM,
∴∠DFM= (180°-∠DMF),∠MFE= (180°-∠FME),
∴∠DFM+∠MFE= (180°-∠DMF)+ (180°-∠FME)
=180°- (∠DMF+∠FME)
=180°-∠DME.
∵∠DFM+∠MFE=180°-∠CFE=180°-45°=135°,
∴180°-∠DME=135°.
∴∠DME=90°.
∴DM⊥ME.
【点睛】
本题主要考查四边形的综合题,解题的关键是利用正方形的*质及直角三角形的中线与斜边的关系找出相等的线段.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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