已知圆M:x2+(y-4)2=1,直线l:2x-y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别...
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已知圆M:x2+(y-4)2=1,直线l:2x-y=0,点P在直线l上,过点P作圆M的切线PA,PB,切点分别为A,B.
(1)若∠APB=60°,求P点的坐标;
(2)若点P的坐标为(1,2),过点P作一条直线与圆M交于C,D两点,当|CD|=时,求直线CD的方程;
(3)求*:经过A,P,M三点的圆与圆M的公共弦必过定点,并求出此定点的坐标.
【回答】
解:(1)由条件可知|PM|=2,设P点坐标为(a,2a),则|PM|==2,解得a=2或a=,所以P(2,4)或P(,).
(2)由条件可知圆心到直线CD的距离d==,设直线CD的方程为y-2=k(x-1),则由点到直线的距离公式得=,解得k=-7或k=-1,
所以直线CD的方程为x+y-3=0或7x+y-9=0.
(3)*:设P(a,2a),过A,P,M三点的圆即以PM为直径的圆,其方程为x(x-a)+(y-4)(y-2a)=0,整理得x2+y2-ax-4y-2ay+8a=0,与x2+(y-4)2-1=0相减得公共弦的方程为(4-2a)y-ax+8a-15=0,即(-x-2y+8)a+4y-15=0,
令解得所以两圆的公共弦过定点.
知识点:圆与方程
题型:解答题
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