在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：＋＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0...

问题详情：

在平面直角坐标系xOy中，已知椭圆C1：

＋

＝1(a>b>0)的左焦点为F1(－1,0)，且点P(0,1)在C1上．

(1)求椭圆C1的方程；

(2)设直线l同时与椭圆C1和抛物线C2：y2＝4x相切，求直线l的方程．

【回答】

解　(1)因为椭圆C1的左焦点为F1(－1,0)，所以c＝1.

把点P(0,1)代入椭圆

＋

＝1，得

＝1，即b＝1，

所以a2＝b2＋c2＝2.

所以椭圆C1的方程为

＋y2＝1.

(2)由题意可知，直线l的斜率显然存在，且不等于0，设直线l的方程为y＝kx＋m.

联立

消去y并整理得

(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－2＝0.

因为直线l与椭圆C1相切，

所以Δ1＝16k2m2－4(1＋2k2)(2m2－2)＝0，

整理得2k2－m2＋1＝0.①

联立

消去y并整理得k2x2＋(2km－4)x＋m2＝0.

因为直线l与抛物线C2相切，

所以Δ2＝(2km－4)2－4k2m2＝0.

整理得km＝1.②

综合①②，解得

或

所以直线l的方程为y＝

x＋

或y＝－

x－

.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题