如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．（1）求*：DC为的切线；（2）...

问题详情：

如图，为的直径，C为上的一点，AD与过点C的直线互相垂直，垂足为D，AC平分．

（1）求*：DC为的切线；

（2）若，求的半径．

【回答】

（1）详见解析；（2）2

【解析】

（1）连接OC，利用角平分线的*质及同圆半径相等的*质求出∠DAC=∠OCA，得到AD∥OC，即可得到OC⊥CD得到结论；

（2）连接BC，先求出，得到∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，再根据为的直径得到∠ACB=90°，再利用三角函数求出AB.

【详解】

（1）连接OC，

∵OA=OC，

∴∠OAC=∠OCA，

∵AC平分，

∴∠DAC=∠OAC，

∴∠DAC=∠OCA，

∴AD∥OC，

∴∠ADC+∠OCD=180°，

∵AD⊥CD，

∴∠ADC=90°，

∴∠OCD=90°，

∴OC⊥CD，

∴DC为的切线；

（2）连接BC，

在Rt△ACD中，∠ADC=90°，，

∴，

∴∠DAC=30°，

∴∠CAB=∠DAC=30°，AC=2CD=，

∵AB是的直径，

∴∠ACB=90°，

∴AB=，

∴的半径为2.

【点睛】

此题考查角平分线的*质定理，圆的切线的判定定理，圆周角定理，锐角三角函数，直角三角形30°角的*质，正确连接辅助线解题是此题的关键.

知识点：点和圆、直线和圆的位置关系

题型：解答题