如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交...

问题详情：

如图，AG是∠HAF的平分线，点E在AF上，以AE为直径的⊙O交AG于点D，过点D作AH的垂线，垂足为点C，交AF于点B．

（1）求*：直线BC是⊙O的切线；

（2）若AC=2CD，设⊙O的半径为r，求BD的长度．

【回答】

【解答】（1）*：连接OD，

∵AG是∠HAF的平分线，

∴∠CAD=∠BAD，

∵OA=OD，

∴∠OAD=∠ODA，

∴∠CAD=∠ODA，

∴OD∥AC，

∵∠ACD=90°，

∴∠ODB=∠ACD=90°，即OD⊥CB，

∵D在⊙O上，

∴直线BC是⊙O的切线；（4分）

（2）解：在Rt△ACD中，设CD=a，则AC=2a，AD=a，

连接DE，

∵AE是⊙O的直径，

∴∠ADE=90°，

由∠CAD=∠BAD，∠ACD=∠ADE=90°，

∴△ACD∽△ADE，

∴，

即，

∴a=，

由（1）知：OD∥AC，

∴，即，

∵a=，解得BD=r．（10分）

【点评】此题考查了切线的判定、勾股定理、相似三角形的判定与*质，根据相似三角形的*质列方程解决问题是关键．

知识点：各地中考

题型：解答题