已知函数，．(1)当时，求的单调区间；(2)对任意正数，*：．

问题详情：

已知函数，．

(1)当时，求的单调区间；

(2)对任意正数，*：．

【回答】

解析：（1）当时，，求得 ，

于是当时，；而当 时，．

即在中单调递增，而在中单调递减．    

（2）对任意给定的，，由 ，

若令 ，则   … ① ，而     …  ②

（一）先*；因为，，，

又由  ，得 ．

所以

．

（二）再*；由①、②式中关于的对称*，不妨设．则

（ⅰ）、当，则，所以，因为 ，

，此时．

 （ⅱ）、当 …③，由①得 ,，，

因为   所以   … ④

    同理得 …  ⑤ ，于是   … ⑥

今*   …  ⑦, 因为  ，

只要*  ，即 ，也即 ，据③，此为显然．

    因此⑦得*．故由⑥得 ．

综上所述，对任何正数，皆有．

知识点：不等式

题型：解答题