如图,已知圆的方程为,圆的方程为,若动圆与圆内切与圆外切.求动圆圆心的轨迹的方程;过直线上的点作圆的两条切线,...
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问题详情:
如图,已知圆的方程为,圆的方程为,若动圆与圆内切与圆外切.
求动圆圆心的轨迹的方程;
过直线上的点作圆的两条切线,设切点分别是,若直线与轨迹交于两点,求的最小值.
【回答】
(1)(2)
【分析】
(Ⅰ)设动圆的半径为,由题动圆与圆内切,与圆外切,则
,由此即可得到动圆圆心的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆,进而得到动圆圆心的轨迹的方程;
(Ⅱ)设直线上任意一点的坐标是,切点坐标分别是,
;则经过点的切线斜方程是,同理经过点的切线方程是,又两条切线,相交于.可得经过两点的直线的方程是,对分类讨论分别求出的值,即可得到的最小值.
【详解】
(Ⅰ)设动圆的半径为,∵动圆与圆内切,与圆外切,
∴,且.于是,,
所以动圆圆心的轨迹是以为焦点,长轴长为的椭圆.从而,,
所以.故动圆圆心的轨迹的方程为.
(Ⅱ)设直线上任意一点的坐标是,切点坐标分别是,
;则经过点的切线斜率,方程是,
经过点的切线方程是,又两条切线,相交于.
则有,所以经过两点的直线的方程是,
①当时,有,,,,则;
②当时,联立,整理得;
设坐标分别为,,则,
所以,
综上所述,当时,有最小值.
【点睛】
本题考查点的轨迹的求法,考查直线与圆、椭圆的位置关系,属中档题.
知识点:圆与方程
题型:解答题
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