如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．（1）求抛物线的解析式；（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛...

问题详情：

如图，已知抛物线经过两点，，是抛物线与轴的交点．

（1）求抛物线的解析式；

（2）点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，设的面积为，求关于的函数表达式（指出自变量的取值范围）和的最大值；

（3）点在抛物线上运动，点在轴上运动，是否存在点、点使得，且与相似，如果存在，请求出点和点的坐标．

【回答】

（1）将、代入，

得：，解得：，

抛物线的解析式为．

（2）过点作轴，交于点，如图1所示．

当时，，

点的坐标为．

设直线的解析式为，

将、代入，得：

，解得：，

直线的解析式为．

设点的坐标为，则点的坐标为，

，

，

当时，面积取最大值，最大值为．

点在平面直角坐标系第一象限内的抛物线上运动，

．

（3）存在点、点使得，且与相似．

如图2，，当点位于点上方，过点作轴于点，

，，

，

若与相似，则与相似，

设，，

，，

当时，，

，

解得，，

，

此时，

，

当时，，

，

解得，

，，

此时．

如图3，当点位于点的下方，

过点作轴于点，

设，，

，，

同理可得：或，与相似，

解得或，

，或，

此时点坐标为或．

综合以上得，，或，，或，，或，，使得，且与相似．

知识点：各地中考

题型：综合题