如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边...

问题详情：

如图1，在平面直角坐标系中，有一张矩形纸片OABC，已知O（0，0），A（4，0），C（0，3），点P是OA边上的动点（与点O、A不重合）．现将△PAB沿PB翻折，得到△PDB；再在OC边上选取适当的点E，将△POE沿PE翻折，得到△PFE，并使直线PD、PF重合．

（1）设P（x，0），E（0，y），求y关于x的函数关系式，并求y的最大值；

（2）如图2，若翻折后点D落在BC边上，求过点P、B、E的抛物线的函数关系式；

（3）在（2）的情况下，在该抛物线上是否存在点Q，使△PEQ是以PE为直角边的直角三角形？若不存在，说明理由；若存在，求出点Q的坐标．

【回答】

解：（1）由已知PB平分∠APD，PE平分∠OPF，且PD、PF重合，则∠BPE＝90度．

∴∠OPE+∠APB＝90°．

又∵∠APB+∠ABP＝90°，∴∠OPE＝∠PBA，∴Rt△POE∽Rt△BPA．

∴，即．

∴y＝x（4﹣x）＝﹣x2+x（0＜x＜4）．

且当x＝2时，y有最大值．

（2）由已知，△PAB、△POE均为等腰直角三角形，可得P（1，0），E（0，1），B（4，3）．

设过此三点的抛物线为y＝ax2+bx+c，则∴

y＝x2﹣x+1．

（3）由（2）知∠EPB＝90°，即点Q与点B重合时满足条件．

直线PB为y＝x﹣1，与y轴交于点（0，﹣1）．

将PB向上平移2个单位则过点E（0，1），

∴该直线为y＝x+1．

由得，

∴Q（5，6）．

故该抛物线上存在两点Q（4，3）、（5，6）满足条件．

知识点：相似三角形

题型：综合题