我们知道，经过原点的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示，对于这样的抛物线：(1)当抛物线经过点(－2，...

问题详情：

我们知道，经过原点的抛物线可以用y＝ax2＋bx(a≠0)表示，对于这样的抛物线：

(1)当抛物线经过点(－2，0)和(－1，3)时，求抛物线的表达式；

(2)当抛物线的顶点在直线y＝－2x上时，求b的值；

(3)如图2－Y－9，现有一组这样的抛物线，它们的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，横坐标依次为－1，－2，－3，…，－n(n为正整数，且n≤12)，分别过每个顶点作x轴的垂线，垂足记为B1，B2，…，Bn，以线段AnBn为边向左作正方形AnBnCnDn，如果这组抛物线中的某一条经过点Dn，求此时满足条件的正方形AnBnCnDn的边长．

图2－Y－9

【回答】

．解：(1)∵抛物线y＝ax2＋bx经过点(－2，0)和(－1，3)，

∴

∴抛物线的表达式为y＝－3x2－6x.

(2)∵抛物线y＝ax2＋bx的顶点坐标是

(－，－)，

且该点在直线y＝－2x上，

∴－＝－2×(－)．

∵a≠0，∴－b2＝4b，

解得b1＝－4，b2＝0.

(3)这组抛物线的顶点A1，A2，…，An在直线y＝－2x上，

由(2)可知，b＝－4或b＝0.

①当b＝0时，抛物线的顶点在坐标原点，不合题意，舍去；

②当b＝－4时，抛物线的表达式为y＝ax2－4x.

由题意可知，第n条抛物线的顶点为An(－n，2n)，则Dn(－3n，2n)．

∵以An为顶点的抛物线不可能经过点Dn，设第(n＋k)(k为正整数)条抛物线经过点Dn，此时第(n＋k)条抛物线的顶点坐标是An＋k(－n－k，2n＋2k)，

∴－＝－n－k，

∴第(n＋k)条抛物线的表达式为y＝－x2－4x.

∵Dn(－3n，2n)在第(n＋k)条抛物线上，

∴2n＝－×(－3n)2－4×(－3n)，解得k＝n.

∵n，k为正整数，且n≤12，

∴n1＝5，n2＝10.

当n＝5时，k＝4，n＋k＝9；

当n＝10时，k＝8，n＋k＝18＞12(舍去)，

∴D5(－15，10)，

∴正方形的边长是10.

知识点：二次函数与一元二次方程

题型：解答题