如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度...

问题详情：

如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AC=60cm，∠A=60°，点D从点C出发沿CA方向以4cm/秒的速度向点A匀速运动，同时点E从点A出发沿AB方向以2cm/秒的速度向点B匀速运动，当其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动．设点D、E运动的时间是t秒（0＜t≤15）．过点D作DF⊥BC于点F，连接DE，EF.

（1）当t为何值时，DF=DA？

（2）当t为何值时，△ADE为直角三角形？请说明理由．

（3）是否存在某一时刻t，使点F在线段AC的中垂线上，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由.

（4）请用含有t式子表示△DEF的面积，并判断是否存在某一时刻t，使△DEF的面积是△ABC面积的，若存在，请求出t值，若不存在，请说明理由.

【回答】

（1）10；（2）t= 或12，理由见解析；（3） t=10，理由见解析；（4）

【解析】

(1) 由已知条件可得Rt△CDF中∠C=30°，即可知DF=CD=AE=2t，列方程求解即可；

（2）分两种情况讨论即可求解；

（3）假设存在，再根据垂直平分线的*质求解即可；

（4）利用两个三角形的面积关系求解即可.

【详解】

（1）*：由题意得：AE=2t，CD=4t，

∵DF⊥BC∴∠CFD=90°，

∵∠C=90°-60°=30°，

∴DF=CD=2t，

同理：AB=AC=30cm

若：DF=DA，则：2t=60-4t，

解得：   t=10；

(2) 当∠AED=90°时，DE∥BC．

∴∠ADE=∠C=30°

∴AD=2AE    即60-4t=4t，

解得：t=

当∠ADE=90°时，

∵∠A=60°， ∴∠DEA=30°，

∴AD=AE

∴60-4t=t  解得t=12．

（3）连接AF,

若存在，则CF=AF，

∴∠C=∠CAF=30°

∴∠AFB=60°

∴∠FAB=30°

RT△DCF中，有勾股定理得：CF=

同理：BC=

∴FB=AF==

解得：t=10．

（4）

∴

∴

若存在，则 

解得

【点睛】

解题的关键是学会用分类讨论的思想思考问题，学会构建方程解决问题.

知识点：实际问题与一元二次方程

题型：解答题