已知函数f（x）=1+x﹣+﹣+…+，g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣，设函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4）...

A．

8

B．

9

C．

10

D．

11

考点：

函数的零点与方程根的关系；函数最值的应用．

专题：

计算题；函数的*质及应用．

分析：

可通过导数法求得f（x）与g（x）的零点，从而可得f（x+3）和g（x﹣4）的零点，继而可求得F（x）的零点均在区间[a，b]（a＜b，a，b∈Z）的具体区间，从而可求得b﹣a的最小值．

解答：

解：∵f（x）=1+x﹣+﹣+…+，

∴f′（x）=（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012

=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012

当x=﹣1时，f′（x）=2×1006+1=2013＞0，

当x≠﹣1时，f′（x）=（1﹣x）（1+x2+x4+…+x2010）+x2012

=（1﹣x）•+x2012

=＞0，

∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在R上单调递增；

又f（0）=1，

f（﹣1）=﹣﹣﹣﹣…﹣＜0，

∴f（x）=1+x﹣+﹣+…+在（﹣1，0）上有唯一零点，

由﹣1＜x+3＜0得：﹣4＜x＜﹣3，

∴f（x+3）在（﹣4，﹣3）上有唯一零点．

∵g（x）=1﹣x+﹣+﹣…﹣，

∴g′（x）=（﹣1+x）+（﹣x2+x3）+…﹣x2012

=﹣[（1﹣x）+（x2﹣x3）+…+x2012]

=﹣f′（x）＜0，

∴g（x）在R上单调递减；

又g（1）=（﹣）+（﹣）+…+（﹣）＞0，

g（2）=﹣1+（﹣）+（﹣）+…+（﹣），

∵n≥2时，﹣=＜0，

∴g（2）＜0．

∴g（x）在（1，2）上有唯一零点，

由1＜x﹣4＜2得：5＜x＜6，

∴g（x﹣4）在（5，6）上有唯一零点．

∵函数F（x）=f（x+3）•g（x﹣4），

∴F（x）的零点即为f（x+3）和g（x﹣4）的零点．

∴F（x）的零点区间为（﹣4，﹣3）∪（5，6）．

又b，a∈Z，

∴（b﹣a）min=6﹣（﹣4）=10．

故选C．

点评：

本题考查函数的零点，考查利用导数判断函数的单调*及零点存在定理的应用，考查综合分析与转化的能力，属于难题．