(2019·湖南中考模拟)在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c...
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(2019·湖南中考模拟)在平面直角坐标系中,我们定义直线y=ax-a为抛物线y=ax2+bx+c(a、b、c为常数,a≠0)的“衍生直线”;有一个顶点在抛物线上,另有一个顶点在y轴上的三角形为其“衍生三角形”.已知抛物线与其“衍生直线”交于A、B两点(点A在点B的左侧),与x轴负半轴交于点C.
(1)填空:该抛物线的“衍生直线”的解析式为 ,点A的坐标为 ,点B的坐标为 ;
(2)如图,点M为线段CB上一动点,将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折,点C的对称点为N,若△AMN为该抛物线的“衍生三角形”,求点N的坐标;
(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时,在该抛物线的“衍生直线”上,是否存在点F,使得以点A、C、E、F为顶点的四边形为平行四边形?若存在,请直接写出点E、F的坐标;若不存在,请说明理由.
【回答】
(1);(-2,);(1,0);
(2)N点的坐标为(0,),(0,);
(3)E(-1,-)、F(0,)或E(-1,),F(-4,)
【解析】
(1)∵,a=,则抛物线的“衍生直线”的解析式为;
联立两解析式求交点,解得或,
∴A(-2,),B(1,0);
(2)如图1,过A作AD⊥y轴于点D,
在中,令y=0可求得x= -3或x=1,
∴C(-3,0),且A(-2,),
∴AC=
由翻折的*质可知AN=AC=,
∵△AMN为该抛物线的“衍生三角形”,
∴N在y轴上,且AD=2,
在Rt△AND中,由勾股定理可得
DN=,
∵OD=,
∴ON=或ON=,
∴N点的坐标为(0,),(0,);
(3)①当AC为平行四边形的边时,如图2 ,过F作对称轴的垂线FH,过A作AK⊥x轴于点K,则有AC∥EF且AC=EF,
∴∠ ACK=∠ EFH,
在△ ACK和△ EFH中
∴△ ACK≌△ EFH,
∴FH=CK=1,HE=AK=,
∵抛物线的对称轴为x=-1,
∴ F点的横坐标为0或-2,
∵点F在直线AB上,
∴当F点的横坐标为0时,则F(0,),此时点E在直线AB下方,
∴E到y轴的距离为EH-OF=-=,即E的纵坐标为-,
∴ E(-1,-);
当F点的横坐标为-2时,则F与A重合,不合题意,舍去;
②当AC为平行四边形的对角线时,
∵ C(-3,0),且A(-2,),
∴线段AC的中点坐标为(-2.5, ),
设E(-1,t),F(x,y),
则x-1=2×(-2.5),y+t=,
∴x= -4,y=-t,
-t=-×(-4)+,解得t=,
∴E(-1,),F(-4,);
综上可知存在满足条件的点F,此时E(-1,-)、(0,)或E(-1,),F(-4,)
【点睛】
本题是对二次函数的综合知识考查,熟练掌握二次函数,几何图形及辅助线方法是解决本题的关键,属于压轴题
知识点:二次函数与一元二次方程
题型:综合题
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