如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直...

问题详情：

如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，BC=2，AC=2，点D是BC的中点，点E是边AB上一动点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F．若△AB′F为直角三角形，则AE的长为　　．

【回答】

3或【分析】利用三角函数的定义得到∠B=30°，AB=4，再利用折叠的*质得DB=DC=，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，设AE=x，则BE=4﹣x，EB′=4﹣x，讨论：当∠AFB′=90°时，则∴BF=cos30°=，则EF=﹣（4﹣x）=x﹣，于是在Rt△B′EF中利用EB′=2EF得到4﹣x=2（x﹣），解方程求出x得到此时AE的长；当∠FB′A=90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，*Rt△ADB′≌Rt△ADC得到AB′=AC=2，再计算出∠EB′H=60°，则B′H=（4﹣x），EH=（4﹣x），接着利用勾股定理得到（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2，方程求出x得到此时AE的长．

【解答】解：∵∠C=90°，BC=2，AC=2，

∴tanB===，

∴∠B=30°，

∴AB=2AC=4，

∵点D是BC的中点，沿DE所在直线把△BDE翻折到△B′DE的位置，B′D交AB于点F

∴DB=DC=，EB′=EB，∠DB′E=∠B=30°，

设AE=x，则BE=4﹣x，EB′=4﹣x，

当∠AFB′=90°时，

在Rt△BDF中，cosB=，

∴BF=cos30°=，

∴EF=﹣（4﹣x）=x﹣，

在Rt△B′EF中，∵∠EB′F=30°，

∴EB′=2EF，

即4﹣x=2（x﹣），解得x=3，此时AE为3；

当∠FB′A=90°时，作EH⊥AB′于H，连接AD，如图，

∵DC=DB′，AD=AD，

∴Rt△ADB′≌Rt△ADC，

∴AB′=AC=2，

∵∠AB′E=∠AB′F+∠EB′F=90°+30°=120°，

∴∠EB′H=60°，

在Rt△EHB′中，B′H=B′E=（4﹣x），EH=B′H=（4﹣x），

在Rt△AEH中，∵EH2+AH2=AE2，

∴（4﹣x）2+[（4﹣x）+2]2=x2，解得x=，此时AE为．

综上所述，AE的长为3或．

故*为3或．

【点评】本题考查了折叠的*质：折叠是一种对称变换，它属于轴对称，折叠前后图形的形状和大小不变，位置变化，对应边和对应角相等．也考查了含30度的直角三角形三边的关系和勾股定理．

知识点：各地中考

题型：填空题