如图①,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,点D是AC边上一点(不与C重合),以AD为...
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如图①,已知Rt△ABC中,∠ACB=90°,AC=8,AB=10,点D是AC边上一点(不与C重合),以AD为直径作⊙O,过C作CE切⊙O于E,交AB于F.
(1)若⊙O半径为2,求线段CE的长;
(2)若AF=BF,求⊙O的半径;
(3)如图②,若CE=CB,点B关于AC的对称点为点G,试求G、E两点之间的距离.
【回答】
(1)CE=4;(2)⊙O的半径为3;(3)G、E两点之间的距离为9.6
【分析】
(1)根据切线的*质得出∠OEC=90°,然后根据勾股定理即可求得;
(2)由勾股定理求得BC,然后通过*得△OEC∽△BCA,得到,即 解得即可;
(3)*得D和M重合,E和F重合后,通过*得△GBE∽△ABC,,即,解得即可.
【详解】
解:(1)如图①,连接OE,
∵CE切⊙O于E,
∴∠OEC=90°,
∵AC=8,⊙O的半径为2,
∴OC=6,OE=2,
∴CE= ;
(2)设⊙O的半径为r,
在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=10,AC=8,
∴BC= =6,
∵AF=BF,
∴AF=CF=BF,
∴∠ACF=∠CAF,
∵CE切⊙O于E,
∴∠OEC=90°,
∴∠OEC=∠ACB,
∴△OEC∽△BCA,
∴,即
解得r=3,
∴⊙O的半径为3;
(3)如图②,连接BG,OE,设EG交AC于点M,
由对称*可知,CB=CG,
∵CE=CG,
∴∠EGC=∠GEC,
∵CE切⊙O于E,
∴∠GEC+∠OEG=90°,
∵∠EGC+∠GMC=90°,
∴∠OEG=∠GMC,
∵∠GMC=∠OME,
∴∠OEG=∠OME,
∴OM=OE,
∴点M和点D重合,
∴G、D、E三点在同一直线上,
连接AE、BE,
∵AD是直径,
∴∠AED=90°,即∠AEG=90°,
又CE=CB=CG,
∴∠BEG=90°,
∴∠AEB=∠AEG+∠BEG=180°,
∴A、E、B三点在同一条直线上,
∴E、F两点重合,
∵∠GEB=∠ACB=90°,∠B=∠B,
∴△GBE∽△ABC,
∴ ,即
∴GE=9.6,
故G、E两点之间的距离为9.6.
【点睛】
本题考查了切线的判定,轴的*质,勾股定理的应用以及三角形相似的判定和*质,*得G、D、E三点共线以及A、E、B三点在同一条直线上是解题的关
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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