已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与...
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问题详情:
已知焦点在轴上的双曲线C的两条渐近线过坐标原点,且两条渐近线与以点为圆心,1为半径的圆相切,又知C的一个焦点与A关于直线对称.
(I)求双曲线C的方程;
(II)设直线与双曲线C的左支交于A,B两点,另一直线经过M(-2,0)及AB的中点,求直线在轴上的截距b的取值范围.
【回答】
(1)设双曲线C的渐近线方程为y=kx,则kx-y=0
∵该直线与圆相切,∴双曲线C的两条渐近线方程为y=±x.
故设双曲线C的方程为.
又双曲线C的一个焦点为,∴,.
∴双曲线C的方程为:.
(2)由得.令
∵直线与双曲线左支交于两点,等价于方程f(x)=0在上有两个不等实根.
因此,解得又AB中点为,∴直线l的方程为:. 令x=0,得.
∵,∴,∴
知识点:圆锥曲线与方程
题型:解答题
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