已知关于的函数,(I)试求函数的单调区间;(II)若在区间内有极值,试求a的取值范围;(III)时,若有唯一的...
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已知关于 的函数 ,
(I)试求函数的单调区间;
(II)若在区间 内有极值,试求a的取值范围;
(III) 时,若有唯一的零点 ,试求 .(注:为取整函数,表示不超过的最大整数,如 ;以下数据供参考:
【回答】
【分析】
(I)由题意的定义域为,对a分类讨论:当a≥0时,当a<0时,即可得出单调*; (II) , 所以的定义域也为,且,
令h(x)=2x3-ax-2,x∈[0,+∞),h′(x)=6x2-a,当a<0时,可得:函数h(x)在(0,1)内至少存在一个变号零点x0,且x0也是f′(x)的变号零点,此时f(x)在区间(0,1)内有极值.当a≥0时,由于函数f(x)单调,因此函数f(x)无极值.
(III)a>0时,由(II)可知:f(1)=3知x∈(0,1)时,f(x)>0,因此x0>1.又f′(x)在区间(1,+∞)上只有一个极小值点记为x1,由题意可知:x1即为x0.得到 ,即 ,消去可得: ,a>0,令 分别研究单调*即可得出x0的取值范围.
【详解】(I)由题意的定义域为
(i)若,则在上恒成立,为其单调递减区间;
(ii)若,则由得,
时,,时,,
所以为其单调递减区间;为其单调递增区间;
(II) 所以的定义域也为,
且
令 (*)
则 (**)
(i)当时, 恒成立,所以为上的单调递增函数,
又,所以在区间内存在唯一一个零点,
由于为上的单调递增函数,所以在区间内,
从而在,所以此时在区间内有唯一极值且为极小值,适合题意,
(ii)当时,即在区间(0,1)上恒成立,此时, 无极值.
综上所述,若在区间内有极值,则a的取值范围为.
(III) ,由(II)且知时, .
由(**)式知,。
由于,所以,
又由于,
所以
亦即,
由
从而得
所以,,
从而,又因为有唯一的零点,所以 即为,
消去a,得
时令,
则在区间上为单调递增函数, 为单调递减函数,
且
【点睛】
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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