如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.(1)求*:△ABC≌△ADE...
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如图,∠BAD=∠CAE=90°,AB=AD,AE=AC,AF⊥CB,垂足为F.
(1)求*:△ABC≌△ADE;
(2)求∠FAE的度数;
(3)求*:CD=2BF+DE.
【回答】
(1)*见解析;(2)∠FAE=135°;(3)*见解析.
【分析】
(1)根据已知条件易*∠BAC=∠DAE,再由AB=AD,AE=AC,根据SAS即可*得△ABC≌△ADE;
(2)已知∠CAE=90°,AC=AE,根据等腰三角形的*质及三角形的内角和定理可得∠E=45°,由(1)知△BAC≌△DAE,根据全等三角形的*质可得∠BCA=∠E=45°,再求得∠CAF=45°,由∠FAE=∠FAC+∠CAE即可得∠FAE的度数;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,易*△AFB≌△AFG,根据全等三角形的*质可得AB=AG,∠ABF=∠G,再由△BAC≌△DAE,可得AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,所以AG=AD,∠ABF=∠CDA,即可得∠G=∠CDA,利用AAS*得△CGA≌△CDA,由全等三角形的*质可得CG=CD,所以CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF.
【详解】
(1)∵∠BAD=∠CAE=90°,
∴∠BAC+∠CAD=90°,∠CAD+∠DAE=90°,
∴∠BAC=∠DAE,
在△BAC和△DAE中,
,
∴△BAC≌△DAE(SAS);
(2)∵∠CAE=90°,AC=AE,
∴∠E=45°,
由(1)知△BAC≌△DAE,
∴∠BCA=∠E=45°,
∵AF⊥BC,
∴∠CFA=90°,
∴∠CAF=45°,
∴∠FAE=∠FAC+∠CAE=45°+90°=135°;
(3)延长BF到G,使得FG=FB,
∵AF⊥BG,
∴∠AFG=∠AFB=90°,
在△AFB和△AFG中,
,
∴△AFB≌△AFG(SAS),
∴AB=AG,∠ABF=∠G,
∵△BAC≌△DAE,
∴AB=AD,∠CBA=∠EDA,CB=ED,
∴AG=AD,∠ABF=∠CDA,
∴∠G=∠CDA,
在△CGA和△CDA中,
,
∴△CGA≌△CDA,
∴CG=CD,
∵CG=CB+BF+FG=CB+2BF=DE+2BF,
∴CD=2BF+DE.
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与*质,解决第3问需作辅助线,延长BF到G,使得FG=FB,*得△CGA≌△CDA是解题的关键.
知识点:三角形全等的判定
题型:解答题
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