如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位...

问题详情：

如图所示，在长方形ABCD中，AB＝2，AD＝1，E为CD的中点，以AE为折痕，把△DAE折起到△D′AE的位置，且平面D′AE⊥平面ABCE.

(1)求*：AD′⊥BE；(2)求四棱锥D′­ABCE的体积；

(3)在棱D′E上是否存在一点P，使得D′B∥平面PAC，若存在，求出点P的位置，若不存在，请说明理由．

【回答】

解：(1)*：根据题意可知，在长方形ABCD中，△DAE和△CBE为等腰直角三角形，

∴∠DEA＝∠CEB＝45°，∴∠AEB＝90°，即BE⊥AE，

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，

∴BE⊥平面D′AE，∵AD′⊂平面D′AE，∴AD′⊥BE.

(2)取AE的中点F，连接D′F，则D′F⊥AE.

∵平面D′AE⊥平面ABCE，且平面D′AE∩平面ABCE＝AE，

∴D′F⊥平面ABCE，∴VD′­ABCE＝S四边形ABCE·D′F＝××(1＋2)×1×＝.

(3)如图所示，连接AC交BE于Q，假设在D′E上存在点P，使得D′B∥平面PAC，连接PQ，∵D′B⊂平面D′BE，平面D′BE∩平面PAC＝PQ，∴D′B∥PQ，

∴在△EBD′中，＝，∵在梯形ABCE中，＝＝，∴＝＝，即EP＝ED′，

∴在棱D′E上存在一点P，且EP＝ED′，使得D′B∥平面PAC.

知识点：空间中的向量与立体几何

题型：解答题