已知圆C：与轴交于，(在原点右侧)两点，动点到，两点的距离之和为定值，且的最小值为−．（Ⅰ）求动点P的轨迹方程...

问题详情：

已知圆C：与轴交于， (在原点右侧)两点，动点到，两点的距离之和为定值，且的最小值为−．

（Ⅰ）求动点P的轨迹方程；

（Ⅱ）过且斜率不为零的直线与点的轨迹交于A，B两点，若存在点E，使得是与直线的斜率无关的定值，则称E为“恒点”．问在x轴上是否存在这样的“恒点”?若存在，请求出该点的坐标；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解析】(1)由已知，=4与x轴交于 (−2，0)， (2，0)，则|| =4，

由题意知|P|+|P|=2a，cos ∠P=

=−1=−1≥−1=1−=−，当且仅当|P|=|P|=a时等号成立，因而=6，由椭圆的定义知，P的轨迹为椭圆，且，分别为其左、右焦点，=−=2，

所以所求轨迹方程为+=1        …6分  

(2)如图，设直线的方程为x= my+2，A(，)，B(，)，

由，得(m2+3)y2+4my−2=0，

则+=−，=−．（8分）

假设存在这样的“恒点”E(t，0)，

则==(−t，)·(−t，)

=(m+2−t，)·(m+2−t，)

=(m2+1) +(2−t)m(+)+(2−t)2

=+(2−t)2

=．

若是与直线的斜率无关的定值，则其为与m无关的定值，

则3−18=3−12t+10，得t=，

此时定值为()2−6=−，“恒点”为(，0)．（12分）

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题