已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满...

问题详情：

已知圆C1：x2+y2=r2（r＞0）与直线l0：y=相切，点A为圆C1上一动点，AN⊥x轴于点N，且动点M满足，设动点M的轨迹为曲线C．

（1）求动点M的轨迹曲线C的方程；

（2）若直线l与曲线C相交于不同的两点P、Q且满足以PQ为直径的圆过坐标原点O，求线段PQ长度的取值范围．

【回答】

【考点】KP：圆锥曲线的范围问题；J3：轨迹方程；KL：直线与椭圆的位置关系．

【分析】（1）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．推出N（x0，0）．通过直线与圆相切，求出圆的方程，然后转化求解曲线C的方程．

（2）①假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），联立直线与椭圆方程，结合韦达定理，通过，以及弦长公式，利用基本不等式求出范围．②若直线l的斜率不存在，设OP所在直线方程为y=x，类似①求解即可．

【解答】解：（I）设动点M（x，y），A（x0，y0），由于AN⊥x轴于点N．∴N（x0，0）．

又圆与直线即相切，∴．

∴圆．

由题意，，得，

∴．

∴，

即∴

将代入x2+y2=9，得曲线C的方程为．

（II）（1）假设直线l的斜率存在，设其方程为y=kx+m，设P（x1，y1），Q（x2，y2），

联立，可得（1+2k2）x2+4kmx+2m2﹣8=0．

由求根公式得．（*）

∵以PQ为直径的圆过坐标原点O，∴．即．

∴x1x2+y1y2=0．即∴x1x2+（kx1+m）（kx2+m）=0．

化简可得，．

将（*）代入可得，即3m2﹣8k2﹣8=0．

即，又．

将代入，可得

=．

∴当且仅当，即时等号成立．又由，∴，

∴．

（2）若直线l的斜率不存在，因以PQ为直径的圆过坐标原点O，故可设OP所在直线方程为y=x，

联立解得，同理求得，

故．综上，得．

知识点：圆与方程

题型：解答题