已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|...

问题详情：

已知点P（2，0）及圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0．

（1）设过P直线l1与圆C交于M、N两点，当|MN|=4时，求以MN为直径的圆Q的方程；

（2）设直线ax﹣y+1=0与圆C交于A，B两点，是否存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB？若存在，求出实数a的值；若不存在，请说明理由．

【回答】

【解答】解：（1）由于圆C：x2+y2﹣6x+4y+4=0的圆心C（3，﹣2），半径为3，

|CP|=，而弦心距d=，

所以d=|CP|=，所以P为MN的中点，

所以所求圆的圆心坐标为（2，0），半径为|MN|=2，

故以MN为直径的圆Q的方程为（x﹣2）2+y2=4；

（2）把直线ax﹣y+1=0即y=ax+1．代入圆C的方程，消去y，整理得（a2+1）x2+6（a﹣1）x+9=0．

由于直线ax﹣y+1=0交圆C于A，B两点，

故△=36（a﹣1）2﹣36（a2+1）＞0，即﹣2a＞0，解得a＜0．

则实数a的取值范围是（﹣∞，0）．

设符合条件的实数a存在，

由于l2垂直平分弦AB，故圆心C（3，﹣2）必在l2上．

所以l2的斜率kPC=﹣2，

∴kAB=a=，

由于，

故不存在实数a，使得过点P（2，0）的直线l2垂直平分弦AB．

知识点：圆与方程

题型：解答题