已知是定义在R上不恒为0的函数，请满足对任意．．（1）求的零点；（2）判断的奇偶*和单调*，并说明理由；（3）...

问题详情：

已知是定义在R上不恒为0的函数，请满足对任意．

．

（1）求的零点；

（2）判断的奇偶*和单调*，并说明理由；

（3）①当时，求的解析式；

②当时，求的解析式．

【回答】

（1）0；（2）奇函数，递增，理由见解析；（3）①；②．

【分析】

（1）记，取得．若存在，使得，则对任意，通过，说明函数的零点是0．

（2）在中取，推出，，即可*函数是奇函数．利用函数的单调*的定义*即可．

（3）①由中取，，推出（1），转化，结合奇偶*可得；

②先*对任意有理数，，．若存在，使得，不妨设（否则以代替，代替即可），然后推出矛盾结论，得到结果．

【详解】

（1）记①，②，

在①中取得．

若存在，使得，

则对任意，，

与不恒为0矛盾．

所以时，，所以函数的零点是0

（2）在①中取得，

即．

所以是奇函数．

，，时，

，可得．

所以函数在上递增．

（3）①由中取，得（1）（1）．

因为（1），所以（1），

对任意正整数，由①，，

，

又因为，所以时，；

②对任意有理数，，由①，

，

所以，即对一切，．

若存在，使得，不妨设（否则以代替，代替即可），

则存在有理数，使得（例如可取，，．

但，与的递增*矛盾．

所以时，．

【点睛】

判断函数的奇偶*，其中包括两个必备条件：

(1)定义域关于原点对称，这是函数具有奇偶*的必要不充分条件，所以首先考虑定义域；

(2)判断与是否具有等量关系．

在判断奇偶*的运算中，可以转化为判断奇偶*的等价关系式 (奇函数)或 (偶函数)是否成立．

知识点：基本初等函数I

题型：解答题