如图，是的直径，半径，垂足为O，直线l为的切线，A是切点，D是上一点，的延长线交直线l于点是上一点，的延长线交...

问题详情：

如图，是的直径，半径，垂足为O，直线l为的切线，A是切点，D是上一点，的延长线交直线l于点是上一点，的延长线交于点G，连接，已知的半径为3，，．

（1）求的长；

（2）求的值及的长．

【回答】

（1）AE=2；（2）CG=，cos∠CAG=

【解析】

(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，*四边形AOHE是矩形得到EH=OA=3，求得，即可得到AE；

(2)先*△ADE∽△OCD求得AD=1.2，OD=1.8，根据求得BF=2，CF=，连接BG，*△AFC∽△GFB，得到，求得，即可得到CG=CF+GF=，设CO延长线交于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，在Rt△CGN中，求得NG=，即可得到cos∠CAG=cos∠CNG=.

【详解】

(1)过点E作EH⊥OC，交OC的延长线于点H，

∵直线l为的切线，A是切点，

∴OA⊥AE，

∵OC⊥AB，

∴∠EHO=∠OAE=∠AOH=90°，

∴四边形AOHE是矩形，

∴EH=OA=3，AE=OH，

∵,

∴,

∴AE=OH=CH-OC=2；

(2)∵∠OAE=∠AOC=90°，

∴OC∥AE，

∴△ADE∽△OCD，

∴，

∴AD=1.2，OD=1.8，

∵，

∴BF=2，

∴OF=1，

∴AF=4，CF=，

连接BG，

∵∠ACF=∠B，∠AFC=∠GFB，

∴△AFC∽△GFB，

∴，

∴，

∴，

∴CG=CF+GF=，

设CO延长线交于点N，连接GN，则∠CNG=∠CAG，

在Rt△CGN中，∠CGN=90°，CN=6，CG=,

∴NG=，

∴cos∠CAG=cos∠CNG=.

【点睛】

此题考查矩形的判定定理及*质定理，勾股定理，圆切线的*质定理，圆周角定理，相似三角形的判定及*质，锐角三角函数解直角三角形，熟记各定理并熟练运用解题，正确连接辅助线是解此题的关键.

知识点：相似三角形

题型：综合题