已知g(x)=ex-x.(1)求g(x)的最小值.(2)若存在x∈(0,+∞),使不等式>x成立,求m的...

问题详情：

已知g(x)=ex-x.

(1)求g(x)的最小值.

(2)若存在x∈(0,+∞),使不等式>x成立,求m的取值范围.

【回答】

【解析】(1)因为g′(x)=ex-1,

由g′(x)=0,得x=0,

所以当x<0时,g′(x)<0,g(x)在(-∞,0)上为减函数,

当x>0时,g′(x)>0,g(x)在(0,+∞)上为增函数,

所以g(x)在x=0时有最小值g(0)=1.

(2)>x⇔2x-m>xg(x)

(因为g(x)=ex-x>0)⇔2x-m>xex-x2⇔m<x2+2x-xex,

令h(x)=x2+2x-xex(x>0),

则h′(x)=2x+2-ex-xex=x(2-ex)+(2-ex)

=-(x+1)(ex-2),

所以当x>ln2时,h′(x)<0,当0<x<ln2时,h′(x)>0,

所以h(x)max=h(ln2)=ln22,

要想存在正数x,使m<h(x),则有m<h(x)max=ln22,

所以所求的m的取值范围是m<ln22.

知识点：导数及其应用

题型：解答题