已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.(1)求...
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问题详情:
已知二次函数f(x)的最小值为-4,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R}.
(1)求函数f(x)的解析式;
(2)求函数g(x)=-4ln x的零点个数.
【回答】
)解:(1)因为f(x)是二次函数,且关于x的不等式f(x)≤0的解集为{x|-1≤x≤3,x∈R},所以f(x)=a(x+1)(x-3)=ax2-2ax-3a,且a>0.所以f(x)min=f(1)=-4a=-4,a=1.故函数f(x)的解析式为f(x)=x2-2x-3.(2)因为g(x)=-4ln x=x--4ln x-2(x>0),
所以g′(x)=1+-=.令g′(x)=0,得x1=1,x2=3.
当x变化时,g′(x),g(x)的取值变化情况如下:
x | (0,1) | 1 | (1,3) | 3 | (3,+∞) |
g′(x) | + | 0 | - | 0 | + |
g(x) | ↗ | 极大值 | ↘ | 极小值 | ↗ |
当0<x≤3时,g(x)≤g(1)=-4<0.又因为g(x)在(3,+∞)上递增,因而g(x)在(3,+∞)上只有1个零点.故g(x)在(0,+∞)上只有1个零点.
知识点:函数的应用
题型:解答题
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