如图,⊙O与△ABC的AC边相切于点C,与AB、BC边分别交于点D、E,DE∥OA,CE是⊙O的直径.(1)求...
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如图,⊙O与△ABC的AC边相切于点C,与AB、BC边分别交于点D、E,DE∥OA,CE是⊙O的直径.
(1)求*:AB是⊙O的切线;
(2)若BD=4,EC=6,求AC的长.
【回答】
(1)*:连接OD、CD,
∵CE是⊙O的直径,
∴∠EDC=90°,
∵DE∥OA,
∴OA⊥CD,
∴OA垂直平分CD,
∴OD=OC,
∴OD=OE,
∴∠OED=∠ODE,
∵DE∥OA,
∴∠ODE=∠AOD,∠DEO=∠AOC,
∴∠AOD=∠AOC,
∵AC是切线,
∴∠ACB=90°,
在△AOD和△AOC中
∴△AOD≌△AOC(SAS),
∴∠ADO=∠ACB=90°,
∵OD是半径,
∴AB是⊙O的切线;
(2)解:∵BD是⊙O切线,
∴BD2=BE•BC,
设BE=x,∵BD=4,EC=6,
∴42=x(x+6),
解得x=2或x=﹣8(舍去),
∴BE=2,
∴BC=BE+EC=8,
∵AD、AC是⊙O的切线,
∴AD=AC,
设AD=AC=y,
在Rt△ABC中,AB2=AC2+BC2,
∴(4+y)2=y2+82,
解得y=6,
∴AC=6,
故AC的长为6.
知识点:点和圆、直线和圆的位置关系
题型:解答题
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