已知函数，.（为常数，为自然对数的底，） （Ⅰ）当时，求的单调区间； （Ⅱ）若函数在区间上无零点，求的最小值...

问题详情：

 已知函数，.（为常数，为自然对数的底，）

  （Ⅰ）当时，求的单调区间；

  （Ⅱ）若函数在区间上无零点，求的最小值；

  （Ⅲ）若对任意给定的，在上总存在两个不同的，使得

成立，求的取值范围．

【回答】

 解：（Ⅰ）当时，则.

令得；令得

故的单调递减区间为，单调递增区间为  ……………2分 

（Ⅱ）∵函数在区间上不可能恒成立，故要使函数在区间上无零点，只要对，恒成立。即对，恒成立。……3分

令（）则    …4分

再令，则，∵，∴

故函数在区间上单调递减，∴        

即，∴函数在区间上单调递增，∴  …5分

故只要函数在区间上无零点，所以   …6分

（Ⅲ）∵，当，，∴函数在区间上是增函数。

∴      …7分

当时，，不符题意

当时，

当时，，由题意有在上不单调，故

∴①    …8分

当变化时，变化情况如下：

又因为时，

   …9分

所以，对于给定的，在在上总存在两个不同的，使得成立，当且仅当满足下列条件

即②③    …10分

令

，令，则

故时，，函数单调递增

时，，函数单调递减       

所以对任意的，      …11分

由③得④，由①④当时，在上总存在两个不同的，使得成立   

知识点：基本初等函数I

题型：解答题