已知函数.(1)当时,*不等式;(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
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问题详情:
已知函数.
(1)当时,*不等式;
(2)若不等式恒成立,求实数的取值范围.
【回答】
(1)*见详解;(2)
【分析】
(1)将代入,求出,记,利用导数判断函数的单调*,求出函数的最大值,即可.
(2)将不等式转化为在恒成立,构造函数,根据单调*可得,只需恒成立,记,利用导数求出即可.
【详解】
(1)当时,,函数的定义域为
所以,
记,
所以,
当时,,单调递减,
又因为,,
所以存在,使得,
所以当时,,即,
当时,,即,
所以,
又因为,
所以,
即,所以,即*.
(2)不等式恒成立等价于在恒成立,
即在恒成立,
也就是在恒成立,
构造函数,,
所以在单调递增,
所以,
即,
记,
所以,
当时,,单调递减,
当时,,单调递增,
所以,
所以,故实数的取值范围.
【点睛】
本题考查了利用导数*不等式、利用导数研究不等式恒成立,考查了转化与划归的思想,属于难题.
知识点:导数及其应用
题型:解答题
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