已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)...

问题详情：

已知函数f(x)＝1－|2x－1|，0≤x≤1，设fn(x)＝fn－1(f1(x))，其中f1(x)＝f(x)，方程

fn(x)＝0和方程fn(x)＝1根的个数分别为gn(0)，gn(1)．

(1) 求g2(1)的值；

(2) *：gn(0)＝gn(1)＋1.

【回答】

(1) 当n＝2时，f2(x)＝f1(1－|2x－1|)＝f(1－|2x－1|)＝1－|2(1－|2x－1|)－1|＝1，

所以2(1－|2x－1|)＝1，

所以1－|2x－1|＝，

所以2x－1＝±，

所以x＝或x＝，

所以g2(1)＝2.

(2) 因为f(0)＝f(1)＝0，

所以fn(0)＝fn(1)＝0.

因为f1(x)＝1－|2x－1|∈[0，1]，

当x∈时，f1(x)单调递增，且f1(x)∈(0，1]，

当x∈时，f1(x)单调递减，且f1(x)∈[0，1)．

下面用数学归纳法*：方程fn(x)＝0(x∈(0，1])、方程fn(x)＝1(x∈(0，1])、方程fn(x)＝0(x∈[0，1))、方程fn(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为gn(1)．

(ⅰ) 当n＝1时，方程f1(x)＝0(x∈(0，1])、方程f1(x)＝1(x∈(0，1])、方程f1(x)＝0(x∈[0，1))、方程f1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为1，上述命题成立．

(ⅱ) 假设n＝k时，方程fk(x)＝0(x∈(0，1])、方程fk(x)＝1(x∈(0，1])、方程fk(x)＝0(x∈[0，1))、方程fk(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为gk(1)，

则当n＝k＋1时，有fk＋1(x)＝fk(f1(x))．

当x∈时，f1(x)∈(0，1]，方程fk＋1(x)＝0的根的个数为gk(1)．

当x∈时，f1(x)∈[0，1)，方程fk＋1(x)＝0的根的个数也为gk(1)．

所以方程fk＋1(x)＝0(x∈(0，1])的根的个数为gk＋1(0)＝2gk(1)，

同理可*：方程fk＋1(x)＝1(x∈(0，1])、方程fk＋1(x)＝0(x∈[0，1))、方程fk＋1(x)＝1(x∈[0，1))的根的个数都相等，且为2gk(1)，

由(ⅰ)(ⅱ)可知，命题成立，

又因为fn(0)＝fn(1)＝0，

所以gn(0)＝gn(1)＋1.

知识点：*与函数的概念

题型：解答题