图7如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径...

问题详情：

图7

如图，点P(0，－1)是椭圆C1：＋＝1(a＞b＞0)的一个顶点，C1的长轴是圆C2：x2＋y2＝4的直径．l1，l2是过点P且互相垂直的两条直线，其中l1交圆C2于A，B两点，l2交椭圆C1于另一点D.

(1)求椭圆C1的方程；

(2)求△ABD面积取最大值时直线l1的方程．

【回答】

【解】　(1)由题意得

所以椭圆C的方程为＋y2＝1.

(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x0，y0)．由题意知直线l1的斜率存在，不妨设其为k，则直线l1的方程为y＝kx－1.

又圆C2：x2＋y2＝4，故点O到直线l1的距离d＝，

又l2⊥l1，故直线l2的方程为x＋ky＋k＝0.

由消去y，

整理得(4＋k2)x2＋8kx＝0，

故x0＝－，所以|PD|＝.

设△ABD的面积为S，则S＝|AB|·|PD|＝，

所以＝，当且仅当k＝±时取等号．

所以所求直线l1的方程为y＝±x－1.

知识点：圆锥曲线与方程

题型：解答题