如图，半径为4的中，弦AB的长度为，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，...

问题详情：

如图，半径为4的中，弦AB的长度为，点C是劣弧上的一个动点，点D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，连接DE，OD，OE．

（1）求的度数；

（2）当点C沿着劣弧从点A开始，逆时针运动到点B时，求的外心P所经过的路径的长度；

（3）分别记的面积为，当时，求弦AC的长度．

【回答】

（1）；（2）；（3）或．

【解析】

（1）过O作OH⊥AB于H，由垂径定理可知AH的长，然后通过三角函数即可得到，从而可得到的度数；

（2）连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，可得到O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，然后用弧长公式即可算出外心P所经过的路径的长度；

（3）作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，分别表示出，的面积为，，由可算出，然后可利用勾股定理求出结果．

【详解】

解：（1）如图，过O作OH⊥AB于H，

∵，

∴，

∴，

∴，

∵，

∴，

∴；

（2）如图，连接OC，取OC的中点G，连接DG、EG，

∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，，

∴OD⊥AC，OE⊥BC，即∠ODC=∠OEC=90°，

∴，

∴O、D、C、E四点共圆，G为△ODE的外心，

∴G在以O为圆心，2为半径的圆上运动，

∵，

∴运动路径长为；

（3）当点C靠近A点时，如图，作CN∥AB交圆O于N，作CF⊥AB交AB于F，交DE于P，作OM⊥CN交CN于M，交DE于Q，交AB于H，连接OC，

∵D是弦AC的中点，点E是弦BC的中点，

∴，

∵，，

∴OH=2，

设，，由题可知，，

∴，，

∴

∵，

∴，即，

解得，

∴，即，

由于，∴，

又∵，

∴，

同理当点C靠近B点时，可知，

综上所述，或．

【点睛】

本题是圆的综合问题，题目相对较难，属于中考压轴题类型，理解题意并能准确画出辅助线是解题的关键．

知识点：弧长和扇形面积

题型：综合题