已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取最大值时,点恰好在以为焦点的双曲...
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已知点是抛物线的对称轴与准线的交点,点为抛物线的焦点,点在抛物线上且满足,若取最大值时,点恰好在以为焦点的双曲线上,则双曲线的离心率为( )
A. B. C. D.
【回答】
B
【解析】
过P作准线的垂线,垂足为N,则由抛物线的定义可得|PN|=|PB|,
∵|PA|=m|PB|, ∴|PA|=m|PN| ∴,
设PA的倾斜角为,则,
当m取得最大值时,最小,此时直线PA与抛物线相切,
设直线PA的方程为y=kx﹣1,代入x2=4y,可得x2=4(kx﹣1),即x2﹣4kx+4=0,
∴△=16k2﹣16=0,∴k=±1, ∴P(2,1),
∴双曲线的实轴长为PA﹣PB=2(﹣1), ∴双曲线的离心率为.
故选B.
点睛:本题的关键是探究m的最大值,先利用抛物线的定义转化得到,m取得最大值时,最小,此时直线PA与抛物线相切,得到△=0,得到k的值.转化是高中数学很重要的一个数学思想,在解题过程中要注意灵活运用.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:选择题
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