已知抛物线的焦点为，准线为，若点在抛物线上，点在直线上，且是周长为的等边三角形．（1）求抛物线的标准方程；（2...

问题详情：

已知抛物线的焦点为，准线为，若点在抛物线上，点在直线上，且是周长为的等边三角形．

（1）求抛物线的标准方程；

（2）过点的直线与抛物线交于，两点，抛物线在点处的切线与直线交于点，求的面积的最小值．

【回答】

【*】（1）；（2）．

【解析】（1）因为是周长为的等边三角形，所以，（1分）

由抛物线的定义可得，设准线与轴交于点，

则，从而，（3分）

在中，，即，

所以抛物线的标准方程为．（5分）

（2）由题可知直线的斜率存在，设直线的方程为，

将代入，消去可得．

设，，则，，（6分）

所以，

设过点的切线方程为，

将代入，消去可得，

又，所以，即，

所以，解得，

所以过点的切线方程为，即，（8分）

令，可得，则，所以，

所以点到直线的距离，（10分）

所以，当且仅当时，等号成立，

所以的面积的最小值为．（12分）

知识点：坐标系与参数方程

题型：解答题