.已知直线是抛物线的准线,直线,且与抛物线没有公共点,动点在抛物线上,点到直线和的距离之和的最小值等于2.(Ⅰ...
- 习题库
- 关注:1.61W次
问题详情:
.已知直线是抛物线的准线,直线,且与抛物线没有公共点,动点在抛物线上,点到直线和的距离之和的最小值等于2.
(Ⅰ)求抛物线的方程;
(Ⅱ)点在直线上运动,过点做抛物线的两条切线,切点分别为,在平面内是否存在定点,使得恒成立?若存在,请求出定点的坐标,若不存在,请说明理由.
【回答】
解:(Ⅰ)作分别垂直和,垂足为,抛物线的焦点为,
由抛物线定义知,所以,
显见的最小值即为点到直线的距离,故,
所以抛物线的方程为.
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线的方程为,当点在特殊位置时,显见两个切点关于轴对称,故要使得,点必须在轴上.
故设,,,,
抛物线的方程为,求导得,所以切线的斜率,
直线的方程为,又点在直线上,
所以,整理得,
同理可得,
故和是一元二次方程的根,由韦达定理得,
,
可见时,恒成立,
所以存在定点,使得恒成立.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:综合题
- 文章版权属于文章作者所有,转载请注明 https://zhongwengu.com/exercises/elznlg.html