已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点,且,抛物线的准线与轴交于,于点,且四边形的面积为,过的直线交抛物线于...
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已知过抛物线的焦点的直线与抛物线交于两点,且,抛物线的准线与轴交于,于点,且四边形的面积为,过的直线交抛物线于两点,且,点为线段的垂直平分线与轴的交点,则点的横坐标的取值范围为( )
A. B. C. D.
【回答】
A
【解析】
【分析】
先根据抛物线的*质和四边形AA1CF的面积为,求出p的值,再设M,N的坐标,运用向量的坐标运算,设直线l:x=my﹣1,并代入到y2=4x中,运用韦达定理,可得m和λ,运用对勾函数的单调*,可得4m2的范围,求出MN的垂直平分线方程,令y=0,结合不等式的*质,即可得到所求范围.
【详解】过B作BB1⊥l于B1,设直线AB与l交点为D,
由抛物线的*质可知AA1=AF,BB1=BF,CF=p,
设BD=m,BF=n,则===,
即=,
∴m=2n.
又=,∴==,∴n=,
∴DF=m+n=2p,∴∠ADA1=30°,
又AA1=3n=2p,CF=p,∴A1D=2p,CD=p,
∴A1C=p,
∴直角梯形AA1CF的面积为(2p+p)•p=6,
解得p=2,
∴y2=4x,
设M(x1,y1),N(x2,y2),
∵=λ,
∴y1=λy2,
设直线l:x=my﹣1代入到y2=4x中得y2﹣4my+4=0,
∴y1+y2=4m,y1y2=4,
∴x1+x2=m(y1+y2)﹣2=4m2﹣2,
由①②可得4m2==λ++2,
由1<λ≤2可得y=λ++2递增,即有4m2∈(4,],即m2∈(1,],
又MN中点(2m2﹣1,2m),
∴直线MN的垂直平分线的方程为y﹣2m=﹣m(x﹣2m2+1),
令y=0,可得x0=2m2+1∈(3,],
故选:A.
【点睛】抛物线的定义是解决抛物线问题的基础,它能将两种距离(抛物线上的点到焦点的距离、抛物线上的点到准线的距离)进行等量转化.如果问题中涉及抛物线的焦点和准线,又能与距离联系起来,那么用抛物线定义就能解决问题.因此,涉及抛物线的焦半径、焦点弦问题,可以优先考虑利用抛物线的定义转化为点到准线的距离,这样就可以使问题简单化.
知识点:圆锥曲线与方程
题型:选择题
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