已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横...

问题详情：

已知抛物线的焦点为，为抛物线上异于原点的任意一点，过点的直线交抛物线于另一点，交轴的正半轴于点，且有.当点的横坐标为3时，为正三角形.

（Ⅰ）求抛物线的方程；

（Ⅱ）若直线，且和抛物线有且只有一个公共点，试问直线（为抛物线上异于原点的任意一点）是否过定点，若过定点，求出定点坐标；若不过定点，请说明理由.

【回答】

解：（1）由题意知，设，则的中点为，

因为，由抛物线的定义知：，解得或（舍去），

由，解得，所以抛物线的方程为.

（2）由（1）知，设，，因为，则，由得，故，

故直线的斜率为，因为直线和直线平行，

故可设直线的方程为，

代入抛物线方程得，

由题意知，得.

设，则，，

当时，，

可得直线的方程为，

由，整理可得，

所以直线恒过点，

当时，直线的方程为，过点，

所以直线恒过定点.

知识点：坐标系与参数方程

题型：解答题