已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增...

问题详情：

已知函数f(x)=sin(ωx+φ)的部分图象如图所示.

(1)求函数f(x)的解析式,并求出f(x)的单调递增区间.

(2)将函数f(x)的图象上各个点的横坐标扩大到原来的2倍,再将图象向右平移个单位,得到g(x)的图象,若存在x∈使得等式3g(x)+1=2[a+g2(x)]成立,求实数a的取值范围.

【回答】

【解析】(1)设函数f(x)的周期为T,由图象可知=-=.所以T=π,

即=π,又ω>0,解得ω=2.

所以f(x)=sin(2x+φ).

因为点在函数f(x)的图象上,

所以sin=1,即+φ=+2kπ,k∈Z,

解得φ=+2kπ,k∈Z.

又因为|φ|<,所以φ=.

所以f(x)=sin.

令-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),

解得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z),

所以f(x)的单调递增区间为(k∈Z).

(2)经过图象变换,得到函数g(x)=f=sin x.

于是问题即为“存在x∈,使得等式3sin x+1=2(a+sin2x)成立”.

即2a=-2sin2x+3sin x+1在x∈上有解.

令t=sin x∈[0,1],则2a=-2t2+3t+1在t∈[0,1]上有解,

因为-2t2+3t+1=-2+∈,

所以2a∈,即实数a的取值范围为.

知识点：三角函数

题型：解答题